Dr. Werner Kessel

 

 

 

 

Gravitation - und Fragen zu den Grundlagen

 

 

Mit diesem Beitrag möchte der Autor Schüler, Studenten und Lehrer zur Diskussion über die theoretischen Grundlagen der Gravitation anregen.

Deshalb werden die physikalischen Zusammenhänge im folgenden etwas anders erklärt als es in Schul- und Lehrbüchern im allgemeinen geschieht.

 

Wir wissen immer noch recht wenig über die Gravitation und es ist fraglich, ob wir sie überhaupt irgendwann einmal richtig verstehen werden.

Wir sagen, dass es die Masse der Erde ist, die den Mond auf seiner Bahn hält. Wir wissen aber nicht, wie die Erde das anstellt. Wir wissen auch nicht, woher der Mond "weiß", wie viel Masse die Erde besitzt. Er bewegt sich aber genau so, als wüsste er es. Andererseits sind Ebbe und Flut auf der Erde so, wie die Masse des Mondes und die Masse der Sonne es wesentlich bestimmen.

Wenn man betrachtet, wie sich ein Astronaut in der Raumstation bewegt, dann könnte  man den Eindruck gewinnen, wir würden alle schweben, wenn es keine Gravitation gäbe. Es ist aber wohl eher so, dass wir ohne Gravitation gar nicht existieren würden, unsere Erde nicht, unser Sonnensystem nicht und das gesamte Universum nicht. In der Raumstation wird die Gravitation nicht abgeschaltet. Das geht nicht. Es wird dort nur die eine Wirkung der Gravitation durch eine andere Wirkung kompensiert.  

Sicher hat die Gravitation schon bei der Entstehung des Universums eine maßgebliche Rolle gespielt und nun ist sie es wohl, die "die Welt im Innersten zusammen hält".

Zweifellos handelt es sich bei der Gravitation um ein interessantes Teilgebiet des Physik. Insofern ist es verwunderlich, dass in Schul- und Lehrbüchern kaum darüber diskutiert wird. Oft wird nur noch gerechnet und die physikalischen Zusammenhänge, die sich hinter den Gleichungen verbergen, selten erklärt.

So wird beispielsweise mit der Newtonschen Gravitationskonstanten G in den Gleichungen gerechnet, ohne zu erklären, welches konstante Größenverhältnis sich hinter G verbirgt. Und häufig wird behauptet, dass die Gravitationsfeldstärke eine Beschleunigung sei. Formal betrachtet ist das zwar nicht falsch, da beide Größen dieselbe Einheit m/s² haben, aber aus physikalischer Sicht handelt es sich, wie später noch gezeigt wird, um zwei völlig verschiedene Größen. Um das zu verstehen, sind physikalische Erklärungen wichtig.

 

 

 

1. Tatsachen und Anspruch

 

Die von einem Körper mit einer Masse M ausgehende Anziehung bewirkt, dass Objekte in Richtung des Mittelpunktes dieser Masse fallen, wenn sie nicht am Fallen gehindert werden. Sie fallen beschleunigt, kräftefrei (Freier Fall) und unabhängig von ihrer eigenen Beschaffenheit alle gleich schnell, wenn allein die von M ausgehende Anziehung auf sie wirkt. So fällt zum Beispiel ein mit einem leichten Gas gefüllter Ballon im Vakuum genauso schnell wie eine Kugel aus Blei.

Das sind die wesentlichen Erfahrungstatsachen.

 

Diesen Erfahrungstatsachen muss eine Erklärung der Gravitation Rechnung tragen und sollte dabei möglichst verständlich und widerspruchsfrei sein.

Das ist der Anspruch.

 

 

 

2. Gravitationskraft und Gravitationskonstante

 

Im Wirkungsbereich einer Masse M fällt eine Masse m so lange kräftefrei und beschleunigt, bis sie durch eine Kraft F an dieser Bewegung gehindert wird. Diese Kraft können wir messen und ihren Betrag nach der Gleichung von Isaak Newton

 

                                    F= G M m/r²        (1)

 

berechnen.

G ist die Newtonsche Gravitationskonstante, m die Masse des Messobjektes und r ist der Abstand vom Ort der Messung zum Mittelpunkt der Masse M. Das ist auch die Fallrichtung.

In der klassisch-mechanischen Gravitationstheorie von Isaak Newton wird eine Kraft entsprechend Gl. (1) als Ursache dafür angenommen, dass Körper mit einer Masse m beschleunigt fallen.

Häufig ist auch davon die Rede, dass die Gravitationskraft der Erde auf die Masse des Mondes wirkt und ihn so, trotz seiner beschleunigten Umlaufbewegung auf seiner Bahn hält.

Ein mitdenkender Schüler müsste hier wohl fragen, wie er sich das vorstellen soll, dass eine von außen kommende Kraft auf die Masse des Mondes wirkt, wenn diese selbst überhaupt erst durch die Mitwirkung der Masse des Mondes zustande kommt.  

 

Denn nach Gleichung (1)  wäre diese Kraft ohne die Masse des Mondes 

  m = 0 --> F =  0.

 

Abgesehen davon ist es aber sowieso prinzipiell ausgeschlossen, eine Kraft zu messen, die das beschleunigte Fallen eines Messobjektes verursacht. Wir messen in den betreffenden Experimenten immer nur dann eine Kraft, wenn das betreffende Messobjet am Fallen gehindert wird. Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn eine Masse m an einer Federwaage hängt. Hier messen wir die Kraft, die von der Feder aufgebracht wird, um die Masse m am Fallen zu hindern.

Auch Henry Cavendish [1] hat in seinem berühmten Laborexperiment keine Kraft gemessen, mit der sich zwei Massen gegenseitig anziehen. Er hat allein die Kraft gemessen, mit der seine Messanordnung verhindert hat, dass sich zwei Massen M und m (hier bestehend aus vier Kugeln) beschleunigt aufeinander zu bewegen. Dann hat er aus seinem Messergebnis die mittlere Dichte der Erde berechnet. Dass er damit gleichzeitig erstmalig in einem Labor einen relativ genauen Wert für die Newtonsche Gravitationskonstante G bestimmt hatte, erwähnt er in seiner Versuchsbeschreibung selbst nicht.

 

Häufig wird gefragt, worin die Konstanz von G besteht und wie ihre auf den ersten Blick unverständliche Einheit  m³ / kg s² zustande kommt. Die Frage läßt sich am besten an der Definitionsgleichung

 

                  G  = g r² / M = const.       (2)

 

beantworten.

Diese Gleichung ist der formale Ausdruck eines universell gültigen Naturgesetzes.

Darin ist M die Masse eines beliebigen Körpers und g die Gravitationsfeldstärke, die in der Entfernung r vom Mittelpunkt der Masse M aus gesehen wirkt.

 

Im Rahmen klassischer Feldtheorien, zu denen auch Albert Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie zählt, wird von vornherein auf das Wirken einer mechanischen Kraft als Ursache für das Fallen von Messobjekten verzichtet. Statt dessen nimmt man an, dass jede Masse von einem Gravitationsfeld umgeben ist, dessen Stärke g, das beschleunigte Fallen von Objekten verursacht.

In diesen Theorien wird die Kraft F, die eine Masse m am Fallen hindert, nach der Gleichung

 

 

                                      F = m g                   (3)

 

 

berechnet. Darin ist g die Gravitationsfeldstärke am Ort der Messung.

Nach beiden Gleichungen (1) und (3) berechnen wir nach zwei unterschiedlichen Theorien (die Gravitationsfeldstärke g kommt in der Theorie von Isaak Newton nicht vor) denselben Zahlenwert für die Kraft F.

Das ist auch nicht verwunderlich, wenn man betrachtet, wie die  Gleichungen (1) und (3) über die Newtonsche Gravitationskonstante miteinander verknüpft sind. Wir erhalten Gleichung (2) wenn wir in Gleichung (1), die rechte Seite der nach g umgestellten Gleichung (2)

 

 

                                      g =   G M / r²            (2a)

 

 

einsetzen.

 

 

Schon im Jahre 1801 hatte der deutsche Astronom Johann Soldner [2] die Ablenkung eines am Sonnenrand vorbeigehenden Lichtstrahls durch die Wirkung der Gravitation berechnet und dabei auf die Annahme einer Kraft als Ursache verzichtet. Das war schon allein deshalb erforderlich, weil das Photon keine Masse m im Sinne von Gleichung (1) besitzt und damit F = O wird.

Johann Soldner hatte schon zu dieser Zeit allein eine "Beschleunigung der Schwere" g als Ursache für die Lichtablenkung angenommen.

Heute bezeichnen wir diese Größe als Gravitationsfeldstärke g.

An einem bestimmten Ort im Gravitationsfeld einer als in einem Punkt vereinigt gedachten Masse M ist die Gravitationsfeldstärke g nur von M und dem Quadrat des Abstandes r  zu M abhängig.

 

 

3. Gravitationsfeldstärke und Fallbeschleunigung

 

Gravitationsfeldstärke g und Fallbeschleunigung a besitzen dieselbe Einheit (m/s²) und bis auf wenige Ausnahmen auch den selben Zahlenwert. Deshalb ist es aus mathematischer Sicht zumeist belanglos ob mit a oder g gerechnet wird - man erhält allemal dasselbe Ergebnis. Das bedeutet aber nicht, dass es sich bei a und g um ein und dieselbe physikalische Größe handelt.

 

Die Beschleunigung ist in der Physik als Geschwindigkeitsänderung definiert. Die Fallbeschleunigung ist eine Bewegung, bei der das fallende Objekt seine Geschwindigkeit ändert. Entweder ändert sich der Betrag der Geschwindigkeit, oder die Richtung oder beides. So ist beispielsweise der Betrag der Umlaufgeschwindigkeit der Planeten um die Sonne annähernd konstant, aber weil sich ständig ihre Richtung ändert, handelt es sich auch hier um eine beschleunigte Bewegung.

Während des freien Falls eines Objektes auf die Erdoberfläche ändert sich ständig der Betrag, aber die Bewegung ist unverändert auf den Massemittelpunkt der Erde gerichtet. Von Fallbeschleunigung sprechen wir demnach immer nur dann, wenn das betreffende Objekt tatsächlich beschleunigt fällt, also seine Geschwindigkeit sich ändert.

Wenn sich ein Objekt im Gravitationsfeld nicht bewegt, weil es beispielsweise durch eine Kraft F an der Bewegung gehindert wird, dann ist zwar die Beschleunigung a = 0, aber die Gravitationsfeldstärke g existiert trotzdem und besitzt unverändert den Wert, den es an dem Ort hat, an dem es gefesselt ist.

 

Unabhängig davon, ob sich ein Messobjekt bewegt oder nicht oder ob  überhaupt eines vorhanden ist, rechnen wir mit der Existenz der Gravitationsfeldstärke g.

Ihre Existenz ist allein von der Existenz einer Masse M abhängig.

Darin besteht der wesentliche physikalische Unterschied zwischen Fallbeschleunigung a und Gravitationsfeldstärke g.

 

 

Der formale Zusammenhang von a und g kann durch die Gleichung

 

                         

                                      a = Go g               (4)

 

 

ausgedrückt werden. Darin ist Go ein dimensionsloser Proportionalitätsfaktor. Er ist notwendig geworden, weil Messergebnisse gezeigt haben, dass die Fallbeschleunigung eines Messobjektes nicht allein von g sondern außerdem noch von dessen Bahngeschwindigkeit v im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit c im Schwerefeld von M abhängig ist.

Unter der Voraussetzung, dass die Geschwindigkeit v so klein ist, dass sie im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c vernachlässigt werden kann  gilt Go --> 0. Wird v = c, dann wird Go = 2 und die Fallbeschleunigung a nimmt den doppelten Betrag an wie  g.

 

Johann Soldner hat diesen Sachverhalt zu seiner Zeit noch nicht berücksichtigt. Deshalb erhielt er im Ergebnis seiner Berechnungen nur die Hälfte des heute als gültig anerkannten Wertes.

Erst Albert Einstein hat im Jahre 1916 im Rahmen seiner Allgemeinen Relativitätstheorie für die Lichtablenkung am Rande der Sonne einen doppelt so großen Wert berechnet wie seinerzeit Johann Soldner. Dieser Wert gilt heute als experimentell gut gesichert. Diesem Ergebnis muss der dimensionslose Proportionalitätsfaktor Go Rechnung tragen.

Als Definitionsgleichung für Go könnten wir dann die Gleichung

 

 

                                     Go = 1 + v²/c²     (5)

 

 

annehmen. Sie erfüllt zumindest die oben genannten formalen Bedingungen.

Ob sie allerdings auch bei Bahngeschwindigkeiten unterhalb der Lichtgeschwindigkeit noch in allen Fällen gültige Werte für a liefert, können nur entsprechende Experimente entscheiden.  Hier sind die Messtechniker gefragt.

 

In der Perihelbewegung des Planeten Merkur haben wir hierfür ein seit langem bekanntes Beispiel. Der beobachtete Wert beträgt 575 Bogensekunden im Jahrhundert. Nach Newtons Gleichung ließ sich mit den Störungen durch die anderen Planeten nur ein Wert von 532 Bogensekunden belegen. Unter Berücksichtigung der Bahngeschwindigkeit des Merkur im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit wurde später von mehreren Autoren der Differenzbetrag von 43 Bogensekunden erklärt. Er wurde allerdings "im Stück" berechnet und nicht jede Störung einzeln unter Berücksichtigung der Bahngeschwindigkeit. Eine Erklärung dafür, warum so gerechnet werden konnte, wird dort nicht gegeben.

 

 

 

 

 

[1] Cavendish, H.: Experiments to Determine the Density of the Earth.

In: Philosophical Transactions 88 (1798), S. 469 ff.

 

[2] Soldner, J.: Über die Ablenkung eines Lichtstrahls von seiner gradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht. In: Berliner Astronomisches Jahrbuch von J.E. Bode, S. 161-172, Berlin 1804